二项微分式的积分

$$\int x^m(a+bx^n)^pdx$$

式中m,n和p为有理数，仅在下列三种情形可化为有理函数的积分(切比雪夫定理):

第一种情形:

p为整数，此时令$x=z^N$，其中N为分数m和n的公分母

第二种情形:

$\frac{m+1}{n}$为整数，此时令$a+bx^n=z^N$，其中N为分数p的分母

第三种情形:

$\frac{m+1}{n}+p$为整数，此时利用代换:$ax^{-n}+b=z^N$，其中N为分数p的分母

注:

若$n=1$，则这些情形等价于:(1)p为整数；(2)m为整数；(3)m+p为整数

例题

例1:$\int \sqrt{x^3+x^4}dx$

解: $\sqrt{x^3+x^4}=x^{\frac{3}{2}}\left( 1+x \right)^{\frac{1}{2}}$；$m=\frac{3}{2}$，$n=1$，$p=\frac{1}{2}$；$\frac{m+1}{n}+p=3$

故设$x^{-1}+1=z^2$，则 $x=\frac{1}{z^2-1} \quad dx=-\frac{2z}{(z^2-1)^2}dz \quad \sqrt{x^3+x^4}=\frac{z}{(z^2-1)^2}$

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\int \sqrt{x^3+x^4}dx &=-2 \int \frac{z^2}{(z^2-1)^4}dz = -2 \int \frac{dz}{(z^2-1)^4}\ -\ 2 \int \frac{dz}{(z^2-1)^3} \\\\
&= -2 \left[ -\frac{z}{6(z^2-1)^3}\ -\ \frac{5}{6} \int \frac{dz}{(z^2-1)^3} \right]- 2 \int \frac{dz}{(z^2-1)^3} \\\\
&= \frac{z}{3(z^2-1)^3}\ -\ \frac{1}{3} \int \frac{dz}{(z^2-1)^3} \\\\
&= \frac{z}{3(z^2-1)^3} + \frac{z}{12(z^2-1)^2}\ -\ \frac{z}{8(z^2-1)} + \frac{1}{16} \ln (\frac{z+1}{z-1}) + C \\\\
&= \frac{1}{3} \sqrt{(x+x^2)^3}\ -\ \frac{1+2x}{8} \sqrt{x+x^2} + \frac{1}{8} \ln (\sqrt{x} + \sqrt{x+1}) + C \quad (x>0)
\end{split}
\nonumber
\end{equation}
$$

例2:$\int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}dx$

解: $\frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}} = x(1+x^{\frac{2}{3}})^{- \frac{1}{2}}$；$m=1$，$n=\frac{2}{3}$，$p=- \frac{1}{2}$；$\frac{m+1}{n} = 3$

设$1+x^{\frac{2}{3}}=z^2$，则$x=(z^2-1)^{\frac{3}{2}}$，$dx=3z(z^2-1)^{\frac{1}{2}}dz$

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\int \frac{xdx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}} &= 3 \int (z^2-1)^2 dz \\\\
&= \frac{3}{5}z^5-2z^3+3z+C
\end{split}
\nonumber
\end{equation}
$$
其中$z=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}$