常用导数公式
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基本公式

$$(x^n)^{′} = nx^{n-1}$$

$$(\sin x)^{′} = \cos x$$

$$(\cos x)^{′} = – \sin x$$

$$(\tan x)^{′} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

$$(\cot x)^{′} = – \frac{1}{\sin^2 x} = – \csc^2 x$$

$$(\arcsin x)^{′} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arccos x)^{′} = – \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arctan x)^{′} = \frac{1}{1+x^2}$$

$$(arccot x)^{′} = – \frac{1}{1+x^2}$$

$$(a^x)^{′} = a^x \ln a$$

$$(\log_{a} x)^{′} = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0 且 a \neq 1); (\ln x)^{‘} = \frac{1}{x}$$

高阶基本公式

$$(a^x)^{(n)} = a^x \ln a \quad (a>0); \quad (e^x)^{(n)} = e^x$$

$$(\sin x)^{(n)} = \sin(x+\frac{n\pi}{2})$$

$$(\cos x)^{(n)} = \cos(x+\frac{n\pi}{2})$$

$$(x^m)^{(n)} = m(m-1) \cdots (m-n+1)x^{m-n}$$

$$(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$$

莱布尼茨公式

若函数$u=\varphi (x)$及$v = \psi (x)$有$n$阶导数($n$阶可微),则

$$(uv)^{(n)} = \sum^{n}_{i=0}C^{i}_{n} u^{(i)} v^{(n-i)}$$

其中$u^{(0)} = u$,$v^{(0)} = v$,为由$n$个元素每次取$i$个的组合数

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